Quando la Varianza segue la Media: i GLS

Seppur noi umani amiamo etichettare tutti gli eventi e i processi usando categorie ben definite, la realtà è molto più polimorfa. Questa natura delle cose si registra anche in Statistica.

Difatti, abbiamo parlato finora di regressione avendo come modello:

\hat{y} = \beta_{0} + \beta_{1}x + \epsilon ~ N(0,1)

Una delle principali assunzioni di questo modello riguarda gli errori \epsilon che vengono considerati come distribuiti secondo una Normale con media 0 e deviazione standard di 1. In questo caso dunque non esiste alcuna relazione tra la media e la varianza.

Nella vita reale però, lavorando con dati reali, questa assunzione può essere tutto fuorché vera: ci sono molte situazioni in cui tra la media e la varianza esiste una relazione, ossia:

\sigma^{2}_{i} = f(\hat{y_{i}})

In questi casi, ci vengono in aiuto i GLS (Generalized Least Squares). I GLS introducono una forma funzionale esplicita per la varianza degli errori. Le più comuni presentano una relazione positiva fra le due variabili:

  • Relazione di Potenza: \hat{y} = \beta_{0} + \beta_{1}x + \epsilon ~ N(0,\sigma^{2}|\hat{y}_{i}|^{2m_{1}})
  • Relazione Esponenziale: \hat{y} = \beta_{0} + \beta_{1}x + \epsilon ~ N(0,\sigma^{2}exp(2m_{2}\hat{y_{i}}))

m_{1} e m_{2} sono due parametri che devono essere stimati col GLS.

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